Peu de formes géométriques sont aussi variées que les polygones. Ils comprennent le triangle, le carré et le pentagone bien connus, mais ce n’est qu’un début.

En géométrie, un polygone est une forme bidimensionnelle qui remplit les conditions suivantes :

est composée de trois lignes droites ou plus
Elle est fermée, sans ouverture ni rupture.
Possède des paires de lignes qui se connectent aux coins ou aux sommets où elles forment des angles.
Elle a un nombre égal de côtés et d'angles intérieurs.

Une forme bidimensionnelle est plate, comme une feuille de papier. Les cubes ne sont pas des polygones car ils sont tridimensionnels. Les cercles ne sont pas des polygones car ils ne contiennent pas de lignes droites.

Un type particulier de polygone peut avoir des angles qui ne sont pas tous égaux. Dans ce cas, il s’agit d’un polygone irrégulier.

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À propos des polygones

De Agostini / A. Dagli Orti / Getty Images

Le nom polygone vient de deux mots grecs :

Poly, qui signifie beaucoup.
Gon, qui signifie angle

Formes qui sont des polygones

Trigon (triangle) : 3 côtés
Tétragon (carré) : 4 côtés
Pentagone : 5 côtés
Hexagone : 6 côtés
Heptagone : 7 côtés
Octogones : 8 côtés
Nonagone : 9 côtés
Décagone : 10 côtés
Undécagone : 11 côtés
Dodécagone : 12 côtés

Comment les polygones sont nommés

Polygones courants et leurs angles internes

Les noms des polygones individuels sont dérivés du nombre de côtés ou de coins que possède la forme. Les polygones ont le même nombre de côtés et de coins.

Le nom commun de la plupart des polygones est le préfixe grec pour “côtés” attaché au mot grec pour coin (gon).

Voici des exemples de polygones réguliers à cinq et six côtés :

Penta (qui signifie cinq en grec) + gon = pentagone.
Hexa (grec signifiant six) + gon = hexagone

Il existe des exceptions à ce système de dénomination. Notamment avec les mots les plus couramment utilisés pour certains polygones :

Triangle : Utilise le préfixe grec Tri, mais au lieu du grec gon, le latin angle est utilisé. Trigon est le nom géométrique correct mais est rarement utilisé.
Quadrilatère : Dérivé du préfixe latin quadri, qui signifie quatre, attaché au mot latéral, qui est un autre mot latin signifiant côté. 
Carré : Parfois, un polygone à quatre côtés (un carré) est appelé quadrangle ou tétragone.

N-Gons

Les polygones de plus de 10 côtés sont peu fréquents mais suivent la même convention d’appellation grecque. Ainsi, un polygone à 100 côtés est appelé hectogone.

Cependant, en mathématiques, les pentagones sont parfois appelés plus commodément n-gons :

11-gon : Hendécagone
12-gon : Dodécagone :
20-gon : Icosagone
50-gon : Pentecontagone
1000-gon : Chiliagon
1000000-gon : Mégagone

En mathématiques, les n-gons et leurs homologues de nom grec sont utilisés de manière interchangeable.

Limite des polygones

Théoriquement, il n’y a pas de limite au nombre de côtés d’un polygone.

Lorsque la taille des angles intérieurs d’un polygone augmente et que la longueur de ses côtés diminue, le polygone se rapproche d’un cercle, mais il n’y arrive jamais tout à fait.
Classification des polygones
Hexagones réguliers, irréguliers, complexes et simples

Polygones réguliers ou irréguliers

Les polygones sont classés selon que les angles ou les côtés sont égaux ou non.

Polygone régulier : Tous les angles sont de même taille et tous les côtés sont de même longueur.
Polygone irrégulier : N'a pas d'angles de taille égale ou de côtés de longueur égale.

Polygones convexes et concaves

Une deuxième façon de classer les polygones est de tenir compte de la taille de leurs angles internes.

Les polygones convexes : n'ont pas d'angles internes supérieurs à 180°.
Polygones concaves : ils ont au moins un angle interne supérieur à 180°.

Polygones simples et complexes

Une autre façon de classer les polygones est la façon dont les lignes qui les forment se croisent.

Polygones simples : Les lignes ne se connectent ou ne se croisent qu'une seule fois, aux sommets.
Polygones complexes : Les lignes se croisent plus d'une fois.

Les noms des polygones complexes sont parfois différents de ceux des polygones simples ayant le même nombre de côtés.

Par exemple :

Un hexagone de forme régulière est un polygone simple à six côtés.
Un hexagramme en étoile est un polygone complexe à six côtés créé par la superposition de deux triangles équilatéraux.

Règle de la somme des angles intérieurs

Calcul des angles intérieurs d’un polygone

Ian Lishman / Getty Images

En règle générale, chaque fois qu’un côté est ajouté à un polygone, par exemple :

D'un triangle à un quadrilatère (trois à quatre côtés)
d'un pentagone à un hexagone (cinq ou six côtés)

un autre 180° est ajouté au total des angles intérieurs.

Cette règle peut s’écrire sous la forme d’une formule :

(n – 2) × 180°

où n est égal au nombre de côtés du polygone.

Ainsi, la somme des angles intérieurs d’un hexagone peut être trouvée en utilisant la formule suivante :

(6 – 2) × 180° = 720°
Combien de triangles dans ce polygone ?

La formule des angles intérieurs ci-dessus est obtenue en divisant un polygone en triangles, et ce nombre peut être trouvé à l’aide du calcul :

n – 2

Dans cette formule, n est égal au nombre de côtés du polygone.

Un hexagone (six côtés) peut être divisé en quatre triangles (6 – 2) et un dodécagone en 10 triangles (12 – 2).

Taille des angles pour les polygones réguliers

Pour les polygones réguliers, dans lesquels les angles ont tous la même taille et les côtés la même longueur, la taille de chaque angle d’un polygone peut être calculée en divisant la taille totale des angles (en degrés) par le nombre total de côtés.

Pour un hexagone régulier à six côtés, chaque angle est de :

720° ÷ 6 = 120°
Quelques polygones connus
L’octogone – Un octogone régulier à huit côtés

Scott Cunningham / Getty Images

Parmi les polygones bien connus, citons

Les fermes de toit

Les fermes de toit sont souvent triangulaires. Selon la largeur et la pente du toit, la ferme peut comporter des triangles équilatéraux ou isocèles. En raison de leur grande résistance, les triangles sont utilisés dans la construction de ponts et de cadres de bicyclettes. Ils sont très présents dans la Tour Eiffel.

Le Pentagone

Le Pentagone, siège du ministère de la Défense des États-Unis, tire son nom de sa forme. Le bâtiment est un pentagone régulier à cinq côtés.

Plaque d’immatriculation

Un autre pentagone régulier à cinq côtés bien connu est le marbre d’un terrain de baseball.

Le faux Pentagone

Un centre commercial géant près de Shanghai, en Chine, est construit en forme de pentagone régulier et est parfois appelé le Fake Pentagon.

Flocons de neige

Chaque flocon de neige a d’abord la forme d’un hexagone, mais la température et le degré d’humidité ajoutent des branches et des vrilles, de sorte que chaque flocon finit par avoir une apparence différente.

Abeilles et guêpes

Les hexagones naturels comprennent également les ruches d’abeilles, où chaque cellule du nid d’abeilles construit par les abeilles pour contenir le miel est hexagonale. Les nids des guêpes à papier contiennent également des cellules hexagonales où elles élèvent leurs petits.

La chaussée des géants

On trouve également des hexagones dans la Chaussée des Géants, située dans le nord-est de l’Irlande. Il s’agit d’une formation rocheuse naturelle composée d’environ 40 000 colonnes de basalte imbriquées les unes dans les autres, créées par le refroidissement lent de la lave d’une ancienne éruption volcanique.

L’octogone

L’octogone – le nom donné au ring ou à la cage utilisée lors des combats de l’Ultimate Fighting Championship (UFC) – tire son nom de sa forme. Il s’agit d’un octogone régulier à huit côtés.

Panneaux stop

Le panneau d’arrêt – l’un des panneaux de signalisation les plus connus – est également un octogone régulier à huit côtés. Bien que la couleur, le libellé ou les symboles du panneau puissent varier, la forme octogonale du panneau de stop est utilisée dans de nombreux pays du monde.